Salve a tutti, ragazzi!
Qualche tempo fa, mi è giunta la notizia della possibilità che, in tempi remoti, un’antica specie di tonnetto potesse essersi spinta fino a latitudini polari. Ovviamente, data l’astrusità di tutto ciò, ho voluto verificare di persona e sono partito.
Non è stata di certo una spedizione facile e, come prevedibile, nessuna traccia di primitivi tonnetti fossili ghiacciati… stavo anche per rischiare seriamente di non riuscire a procurarmi i viveri per il viaggio di ritorno, se non fosse stato per la fisica, che ancora una volta mi ha tirato fuori dai guai e mi ha permesso di rimanere incolume.
Sulla via del rientro, stavo navigando su un fiume non ancora completamente ghiacciato, quando la mia barca si è imbattuta in rapide minacciose ed è precipitata giù per una cascata. Ho perso tutti i viveri, gli strumenti, gli appunti… ma non temete, la mia memoria è di ferro! Purtroppo non posso dire lo stesso del mio stomaco, di qualcosa si deve pur vivere, che diamine! E la sola scienza, si sa, sazia solo la mente.
Ho vagato molto nella vana ricerca di qualcosa di commestibile, ma – ahimè!– a quelle latitudini, così vicine al circolo polare artico, il cibo non abbonda di certo e si cammina per sentieri impervi. Il freddo mi aveva devastato le zampe, ma sapevo di dover continuare a tutti i costi: da quello che mi ricordavo di aver visto sulla mappa, non molto lontano dal fiume da cui ero scampato per il rotto della cuffia avrebbe dovuto esserci un lago. E lago significava pesce, dovevo crederci e procedere a tutti i costi. Ormai, questa speranza era la sola forza che muoveva le mie zampe. Una volta riprese le forze e procuratemi della provviste, avrei persino potuto raggiungere qualche centro abitato e tornare alla civiltà.
Dovetti ancora accendere qualche fuoco prima di scorgere tra le conifere il tanto agognato specchio d’acqua, la fame mi aveva stremato. Pensate, dunque, che rabbia quando scoprii che il lago era ghiacciato, completamente! Ovvio, direte voi, a quelle latitudini che ti aspettavi di trovare? Certo… lo sapevo benissimo, ma parte di me si aspettava un colpo di fortuna…
Solitamente, al centro il ghiaccio è meno spesso e avrei potuto avere una possibilità di inciderlo con le unghie per ricavare un piccolo foro per acciuffare qualche pesce. Tuttavia, se avessi camminato su quella superficie dura e gelata, il danno alle zampe sarebbe stato peggiore rispetto a quello provocatomi fino a quel momento dalla neve fresca, perché si aggiungeva il rischio di incollarmi i cuscinetti al ghiaccio stesso.
Ispezionai la riva, alla ricerca di qualcosa che potesse aiutarmi e all’improvviso la scorsi. No, non era un miraggio: era proprio una slitta di legno a circa 1.5 m/ 2 m dalla riva. Se fossi riuscito a fare un bel balzo, probabilmente avrei potuto arrivare verso il centro del lago, aiutato anche dalla spinta che avrei impresso alla slitta atterrandovi dopo il salto.
Certo, se il ghiaccio o la slitta si fossero spezzati sotto il mio peso avrei davvero visto i sorci verdi… però la paura non fa parte di uno studioso come me ed i calcoli erano dalla mia parte.
In mancanza di fogli, cominciai a tracciare le mie formule e le mie ipotesi con un bastoncino sulla neve. Vi risparmio i dettagli che mi hanno portato alle conclusioni (se siete interessati, potete comunque richiederli ad infopurr@astroartu.studio), ma voglio spiegarvi in maniera scientifica perché ero sicuro che ce l’avrei fatta.
Innanzitutto, ho scomposto l’iniziale problema complesso in una serie di problemi più piccoli, corrispondenti alle fasi della mia operazione, partendo dall’obiettivo e dalla stima di alcune quantità che mi sarebbero servite nei calcoli.
Infatti, tenuto conto che il mio punto di partenza sulla riva del lago è stato definito come il “punto zero” = 0 m, ho stimato che la slitta potesse essere a circa 1.8 m dalla riva e che il centro del lago potesse trovarsi a circa 2.5 m dalla slitta stessa (nelle condizioni iniziali di quiete, ovviamente). Sono abbastanza bravo con le stime di pesi e distanze, quindi non ho messo in dubbio le mie intuizioni e ho introdotto questi numeri nei calcoli.
Dal momento che mi serviva anche il peso della slitta, ho ipotizzato che, in quelle condizioni di abbandono e così malconcia, non avrebbe potuto pesare più di 3 kg. Il dubbio era se avesse retto all’impatto con il mio peso, ma in quel momento non era un’ipotesi che potevo permettermi di considerare.
Ecco sintetizzate le fasi della risoluzione del problema:
OBIETTIVO: arrivare al centro del lago, senza toccare il ghiaccio nel tragitto, per pescare qualche bel pesciolino.
- Calcolare che velocità deve avere la slitta per raggiungere il centro del lago, dopo che ci sono saltato sopra;
- Calcolare che velocità devo avere io per arrivare alla slitta, con un solo balzo, partendo dalla riva;
- Calcolare che angolo di salto devo avere per raggiungere la slitta con la velocità calcolata al punto precedente;
- Calcolare la forza da impiegare nel salto per assumere i parametri calcolati ai punti precedenti.
1. Calcolo delle velocità iniziale della slitta dopo il salto, per farmi arrivare al centro del lago.
dove:
v0= velocità iniziale slitta
g= accelerazione di gravità = 9.80665 m/s2
d= distanza slitta-centro lago = 2.5 m (circa)
k= coefficiente di attrito ghiaccio/ legno (circa 0.22)
2. Calcolo delle velocità che devo avere in volo per arrivare sulla slitta e per vincerne l’inerzia.
Questa fase del calcolo è un po’ più complessa.
Per iniziare, la velocità che devo avere in volo deve essere maggiore rispetto a quella che abbiamo la slitta ed io dopo il salto, poiché devo vincerne l’inerzia e farla muovere. Questa operazione, necessariamente, implica una perdita di velocità. Per assunto, il principio della conservazione della quantità di moto afferma che la mia velocità al momento dell’arrivo sulla slitta è uguale a quella che assumo durante il salto.
La velocità da calcolare è quella del movimento in orizzontale, quindi la componente della velocità stessa lungo l’asse x:
vcx = la componente lungo l’asse x della mia velocità in salto tra la riva e la slitta (“c” sta per “cat”…)
mc= la mia massa (5.5 kg)
ms= la massa della slitta (ipotizzata di 3 kg)
v0= velocità iniziale slitta (calcolata al passaggio precedente, pari a 3.28440 m/s)
3. Calcolo dell’angolo di salto che devo avere in partenza, per arrivare alla slitta con velocità = vcx
Per risolvere questo, partiamo da un sistema di equazioni in tre incognite:
Il sistema è questo:
vc= la mia velocità assoluta durante il salto (il modulo delle componenti x e y del vettore velocità)
vcx= la mia velocità rispetto all’asse x durante il salto
vcy= la mia velocità rispetto all’asse y durante il salto
g = accelerazione di gravità = 9.80665 m/s2
x = distanza riva – slitta da percorrere 2 m (1.8 m + 0.2m perché possa atterrare sulla slitta)
α = angolo di salto
Queste formule tengono conto del fatto che la velocità verticale, insieme all’angolo di salto, deve consentirmi di atterrare sulla slitta e che la velocità di arrivo sulla slitta vcx deve essere pari a quella desiderata, ovvero quella calcolata al punto 2: 5.07590 m/s
Inoltre, per un principio della balistica, durante il salto il mio comportamento è assimilabile a quello di un proiettile e la mia traiettoria è parabolica; per la simmetria di questa curva, l’angolo di salto e l’angolo di arrivo sulla slitta saranno uguali.
Sostituendo nella terza equazione le prime due otteniamo:
Arrivo quindi ad avere:
- vc= 5.43115 m/s
- α= 20.84°
- x = 2 m
I risultati confermano che arriverò con la velocità voluta sulla slitta e che ci atterrerò proprio nel mezzo, considerando che ne ho stimato la distanza dal punto più vicino alla riva a 1.8 m. Il salto dovrà avere un angolo di inclinazione verso l’alto di circa 21°.
4. Calcolo della forza da imprimere al salto
Per calcolare la forza, mi occorre stimare il tempo del salto. Da mie esperienze precedenti, ne ipotizzo la durata intorno ai 200 ms = 0.2 s (indicato come dt nei calcoli seguenti).
Poiché mi occorre l’accelerazione, passo attraverso la decomposizione della velocità vc (velocità assoluta in volo tra la riva e la slitta):
Componente x dell’accelerazione:
Componente y dell’accelerazione:
Alla componente lungo l’asse y occorre ancora aggiungere l’accelerazione di gravità, che devo vincere per saltare; quindi, la componente lungo l’asse y dell’accelerazione sarà pari a 19.46665 m/s2
Il modulo dell’accelerazione risultante è pari a:
Poiché per il secondo principio della dinamica:
F=ma
La forza che devo applicare per saltare sarà pari a:
F= 5.5 kg 31.98546 m/s2= 175.92002N
Solitamente, nessuno si appresta a compiere un salto senza prevedere una rincorsa. Così ho pensato di fare anch’io, ma ho dovuto calcolare che al momento dello stacco una quota di velocità viene persa.
Pertanto, la velocità da raggiungere durante la rincorsa pre-salto, per avere una velocità di salto pari a vc = 5.43115 m/s , dovrà essere calcolata come:
vr=velocità rincorsa
vc= velocità assoluta durante il salto
δ = stima della perdita al momento del salto (ho ipotizzato il 20% = 0.2)
Recapitolando in maniera grafica:
Legenda:
x = 2 m
vr = 6.07221 m/s
vc= 5.43115 m/s
vcx = 5.07590 m/s
vcy = 1.93200 m/s
α= 20.84°
v0 = 3.28440 m/s
Intrepidi esploratori che mi avete seguito fino alla fine di questa spiegazione (che mi rendo conto essere sicuramente molto complessa), ecco qui spiegato come sono riuscito ad arrivare al centro del lago senza toccare il ghiaccio.
Forare la superficie gelata non è stato difficile e, dopo quasi due ore di attesa, sono riuscito a pescare un bel pesce, che mi ha saziato e mi ha permesso di mettere da parte una considerevole scorta per il ritorno.
Che impresa!
Noi ci ritroviamo alla prossima avventura… non dimenticate di scrivermi, se avete domande, a infopurr@astroartu.studio.
Ciao a tutti e grazie per essere stati un altro po’ in mia compagnia!
Attenzione!:
Arthur Van è un micio che lavora sempre in condizioni di estrema sicurezza.
Il racconto di questa sua avventura è senza dubbio avvincente, ma non sappiamo se sia stato veramente obbligato a fare ciò che descrive.
Nessun micio è stato lanciato, o costretto a lanciarsi, su laghi ghiacciati o su altre superfici pericolose. Vi preghiamo di non lanciare gatti, né su superfici pericolose, né su qualsiasi altro tipo di superficie.
Precisiamo, inoltre, che i calcoli si riferiscono strettamente alla situazione descritta e sono da intendersi a solo scopo divulgativo. Non si garantisce la loro validità in eventuali applicazioni reali.