I misteri della luce: Rifrazione

Bonjour ragazzi,

oggi voglio raccontarvi una scoperta in cui mi sono imbattuto mentre mi trovavo a Versailles. Ero andato a vedere un quadro in particolare, intitolato “Chat Angora Blanc” di Jean-Jacques Bachelier, che ritrae Madame Brillant, che secondo il mio albero genealogico è una mia illustre antenata. Qui potete vedere il quadro a cui mi riferisco e la grande somiglianza che c’è tra noi.

Ero andato a visitare i luoghi in cui la mia antenata viveva e sono rimasto colpito dalla luce dei lampadari della sala degli specchi: la luce si scomponeva in tanti raggi di diversi colori e mentre questo pensiero mi girava in testa, io uscii per ammirare il giardino. Per poco, immerso nei miei pensieri, non finii per immergermi anche nella fontana Latona, dove vi scorsi sorpreso un’arcobaleno in mezzo alle goccioline d’acqua degli spruzzi della fontana. Tornato a casa, ho deciso di riprendere gli studi sull’ottica, argomento di cui sono molto appassionato e di scrivere questo articolo, primo di una lunga serie dedicata alla luce e ai sui misteri.

Qui vediamo descritto il passaggio del raggio luminoso dal materiale 1 al materiale 2.

Poiché i materiali hanno proprietà ottiche diverse, si avrà una variazione dell’angolo del raggio luminoso.

Dove:

• n₁ è il coefficiente di rifrazione del mezzo 1
• n₂ è il coefficiente di rifrazione del mezzo 2
• v₁=^c/_n1, velocità della luce nel mezzo 1
• v₂=^c/_n2, velocità della luce nel mezzo 2
• c la velocità della luce nel vuoto

Dal principio di Fermat sappiamo, che la luce percorre il percorso più breve.

Scriviamo quindi il tempo totale necessario al raggio di luce per attraversare lo spazio:

Imponiamo la derivata di T a zero per minimizzare il tempo necessario al raggio per attraversare lo spazio:

essendo per definizione:

e

Sostituendo nella precedente equazione abbiamo:

abbiamo quindi:

sostituendo v₁ e v₂ con le definizioni:

e infine semplificando rispetto alla velocità della luce c abbiamo la legge di Snell che definisce l’angolo di rifrazione dovuto al passaggio della luce da un materiale a un’altro:

n₁sin(θ₁)=n₂sin(θ₂)

Avremo, quindi, che il nuovo angolo della luce sarà:

Tuttavia questo non spiega perché la luce si scompone in diversi colori: infatti manca un pezzettino di fisica.

L’indice di rifrazione dipende dalla frequenza, è questo il fenomeno che porta la luce a scomporsi in diversi colori, che percorrono il materiale con angoli diversi.

Ecco la formula che lo spiega:

n=n(λ)

dove λ è la lunghezza d’onda della radiazione elettromagnetica del colore considerato.

Qui riporto gli intervalli delle lunghezze d’onda dei diversi colori:

• rosso: ~700–630 nm
• arancione: ~630–590 nm
• giallo: ~ 590–560 nm
• verde: ~ 560–490 nm
• blu: ~ 490–450 nm
• viola: ~ 450–400 nm

Il coefficiente di rifrazione è approssimabile tramite l’equazione di Cauchy:

nota: nell’equazione di Cauchy la lunghezza d’onda è espressa in μm (micro metri ossia 1000 nm)

Per i nostri calcoli ho considerato un vetro con grande indice di rifrazione usato per costruire prismi, vetro flint SF10, con valori dei parametri dell’equazione di Cauchy di:

• A=1.7280
• B=0.01342

Vi mostro di seguito l’applicazione di questa legge per i caso della luce rossa e di colore blu.

1. Calcoliamo l’indice di rifrazione per la luce rossa, prendendo una lunghezza d’onda intermedia di 660 nm, abbiamo quindi:

2. Calcoliamo l’indice di rifrazione per la luce blu, prendendo una lunghezza d’onda intermedia di 470 nm, abbiamo quindi:

Ora consideriamo la geometria del prisma:

Il raggio di luce colpisce il prisma nel punto A con un angolo α=30° a cui corrisponde per la geometria del prisma (che è un triangolo equilatero) θ₁=60° (angolo rispetto alla tangente della superficie del prisma).

Calcoliamo quindi θ₂ per la luce di colore rosso:

e di colore blu:

rispetto al piano orizzontale in senso orario abbiamo:

β_r = 30-θ_2,r = 0.502°

β_b = 30-θ_2,b = 1.0431°

Ora consideriamo il punto B in cui il raggio luminoso esce dal prisma:

Data la geometria del prisma l’angolo di incidenza θ’₂ è uguale a β+30, abbiamo quindi:

θ’_2,r = β_r+30 = 30.502°

θ’_2,b = β_b+30 = 31.0431°

Calcoliamo ora l’angolo θ’₁ del raggio in uscita dal prisma nel punto B per la luce di colore rosso:

e di colore blu:

Riportando rispetto all’angolo δ abbiamo:

δ_r=90-θ’_2,r= 26.7834°

δ_b=90-θ’_2,b= 22.7164°

Abbiamo quindi che l’angolo tra la luce di colore rosso e quella di colore blu è di 4.067° -> la luce viene scomposta nei vari colori che la compongono dal prisma!

Sotto abbiamo una divertente rappresentazione interattiva della rifrazione in un prisma, con cui poter sperimentare la rifrazione in prima persona: